ルベーグ積分30講 11講まで読んだ

というわけでルベーグ積分。少しずつだけどちゃんと読んでるよ。11講でようやく測度空間が導入された。測度空間とは、論文とかでやたら見かけるX(B, m)というやつのこと。
以下に自分用メモを書いておく。あまり厳密に書いてないので注意。この本を読み終えたら、初心者向けの資料とか作りたいなあ。

かなり要約すると、測度空間というのは、ある集合Xを使ってボレル集合体(シグマ加法族)という集合族を構成し、ボレル集合体Bに対して測度mを与えたもの。
ボレル集合体とは集合Xの部分集合を要素とする集合で、以下の性質を満たす。

- 少なくとも要素を一つもつ
- A∈B のとき  ~A∈B
- An∈B のとき  ∪An∈B  (n=1...∞)

↑を満たすBに対して測度mを定義する。mは以下の性質を満たす。

0 <= m(A) <= ∞
m(∪An) = Σm(An)  (n=1...∞)

以上のボレル集合体の性質と測度の性質を使うと

m(lim An) = lim m(An)

が導かれる。これは何を言ってるかというと、集合の極限(lim An)の測度(=よくわからない何か)は、各々の集合Anの測度(=実数。よくわかる)の極限で表せるよ、ということ。これが成り立つ空間が測度空間。これはすごい。