再生核ヒルベルト空間(reproducing kernel Hilbert space)

カーネル関数のお勉強をしていたら、再生核ヒルベルト空間(もしくは再生カーネルヒルベルト空間)は当然しってるよね的な展開になって困ったので調べてみた。

集合の要素間に内積が定義されている空間をヒルベルト空間という(厳密には内積について完備(complete)である必要があるが、ここではそんなに気にしなくても大丈夫)。要するに通常のベクトル空間を想像しておくと間違いない。
線形識別関数f_w(x) = はヒルベルト空間上のベクトルw,φ(x)の内積で表現される。これに対して再生核ヒルベルト空間とは線形識別関数f_w(x)を要素とする集合に対して内積を定義した空間のこと。
再生核ヒルベルト空間の内積は = として定義する。カーネル関数k(x,x')も<φ(x),φ(x')>であるから重みベクトルw=φ(x')の線形識別関数といえるので再生核ヒルベルト空間の要素になる。
このときxに対してカーネル関数k(x,・)が一意に定まり

f_w(x) = <f_w, k(x,・)>
k(x,x') = <k(x,・), k(x',・)>

という関係が成り立つ。

ということまでは理解した。続きは明日調べる。なおここまでの説明は赤穂先生の書籍を大いに参考にした。